چکیده فارسی1
فصل اول: تعاریف و مبانی نظری و تئوریک تحقیق 2
مقدمه 3
1-1 تعاریف و مفاهیم مربوط به نظریه گراف 5
1-2 تعاریف و مفاهیم مربوط به یک حلقه تعویض پذیر 17
فصل دوم: رنگ آمیزی حلقه های تعویض پذیر 22
2-1 عدد رنگی برخی از حلقه ها23
2-2 حلقه هایی با عدد رنگی متناهی26
2-3 رنگ آمیزی32
2-4 خانواده رنگ آمیزیها36
2-5 حلقه های تعویض پذیر متناهی با R) ≤ 4 (χ39
فصل سوم: قضایای گرافهای مقسوم علیه صفر و قطرهای حاصلضربهای مستقیم حلقه های تعویض پذیر44
3-1 قضایای مربوط به گراف مقسوم علیه صفر 45
3-2 حاصلضربهای مستقیم48
3-3 حلقه های قطر دو55
فصل چهارم: یافته های تحقیق و تشخیص G بعنوان Γ® 58
4-1 تشخیص G بعنوان Γ® 59
فصل پنجم: نتیجه گیری 62
منابع و مأخذ 64
چکیده انگلیسی 65
نمادها 66
واژه نامه ها 67
چكیده.
در این تحقیق چندین نتیجه ازگرافهای مقسوم علیه صفر از حلقه های تعویض پذیر بازگو
خواهد شد. و با در نظر داشتن قطرهای گرافهای مقسوم علیه صفر R1 وR2 ، یک مجموعه از قضایایی بیان می شود که قطر گراف مقسوم علیه صفر را برای حاصلضرب مستقیم R2× R1 تشریح می کند و همچنین برخی از خصوصیات حلقه هایی که مقسوم علیه های صفرآنها بعنوان قطردوگراف شناخته شده اند استنتاج می شود. همچنین حفظ قطرگراف مقسوم علیه صفر ازحلقه های سریهای توانی و چند جمله ای نیز مطرح خواهد شد. و برای هر حلقه تعویض پذیر R یک گراف (ساده) وابسته در نظر گرفته خواهد شد و تاثیر متقابل خصوصیات نظری حلقه R وگراف G® بررسی خواهد شد.این تحقیق همچنین رنگ آمیزی حلقه های تعویض پذیر را مورد بررسی قرار می دهد و حلقه هایی با عدد رنگی متناهی را توصیف و ویژگیهای جالب گروه رنگ آمیزیها نیز بیان خواهد نمود. سرانجام اثبات خواهد شدكه c® = clique R اگر clique ≤ 4 باشد .
ABSTRACT
In this thesis, several results of zero divisor graphs of commutative rings are recalled and a set of theorems that describe the diameter of a zero-divisor graph for a direct product R1 ´ R2 with respect to the diameters of the zero-divisor graphs of R1 and R2 is established.
Also some properties of the rings whose zero-divisors are realized as diameter-two graphs is derived. Then the preservation of the diameter of the zero-divisor graph of polynomial and power series rings is examined . For each commutative ring R a simple graph G® is associated . The interplay between the ring-theoretic properties of R and the graph-theoretic properties of G® is investigated . This dessertation also shows the coloring of commutative rings and prove the main characterization of rings of finite chromatic number and name these rings coloring, also is proved c® = clique R if clique ≤ 4 .
مقدمه.
برای اولین بار استوان بک[1]در منبع ]7[ مفهوم ارتباط یک حلقه تعویض پذیر به یک گراف را معرفی نمود. با توجه به تعریفی که او ارائه داد، هر عضو حلقه R یک راس گراف می باشد، و دو راس x, y به هم وصل می شوند اگر و فقط اگر xy = 0 باشد.”بک” در ابتدا رنگ آمیزی گرافها را مورد توجه قرار داد; او حدس زد که اعداد رنگی یک حلقه، که آن حداقل تعداد رنگهای ضروری برای رنگ آمیزی گراف حلقه است بطوریکه هیچ دو عضو مجاور رنگ یکسانی ندارند، برابر است با اندازه بزرگترین زیر گراف کامل یک گراف، که آن بزرگترین زیرگراف G می باشد، بطوریکه برای همه رئوس a,b در G , a مجاور b است. او همچنین همه حلقه های متناهی با عدد رنگی کمتر از چهار را طبقه بندی نمود.
درمنبع ]5[، د.د اندرسون[2] و ام. نصیر[3] تلاش و کوشش خود را بر روی تعریفی که بک ارائه داده بود ادامه دادند. آنها نه تنها برای حدس”بک” مثال نقضی را فراهم کردند، بلکه نتایج دیگری درحالتهایی که حدس برقرار باشد، ارائه نمودند.آنها همچنین طبقه بندی حلقه های متناهی را برای آنهایی که عدد رنگی کمتر یا برابر با چهار دارند را توسعه دادند.
یک روش متفاوت دیگر از وابسته نمودن یک حلقه تعویض پذیر به یک گراف توسط دیوید اف اندرسون[4] و فیلیپ اس[5] ، لیوینگسون[6] در منبع ]4[ پیشنهاد داده شد. آنها معتقد بودندکه این تعریف ساختار مجموعه مقسوم علیه صفر حلقه را بهتر نشان می دهد و این تعریفی است که در این تحقیق استفاده شده است.
با توجه به تعریف اندرسون و لیوینگسون درموردگراف مقسوم علیه صفر، به بررسی ساختار دوریR))Γ پرداختند. در منبع] 6 [، ام آکستل7، جی کوی کندل8 و جی استیکلز9 با توسعه حلقه های سریهای توانی و چندجمله ای، حفظ خصوصیات نظری گراف مقسوم علیه صفررا آزمودند. آنها بیان کردند، حفظ خصوصیات نظری گراف با توجه به توسعه های نظری حلقه های گوناگون سئوالی جالب ومهم می باشد. اولین نمونه از این قبیل توسعه ها که به ذهن می رسد سریهای توانی و چند جمله ای است. ملاحظه می شود G® زیرگراف G(R[x]) ، که آن زیرگراف G(R[[x]]) است، می باشد. همچنین مستقیماً نشان می دهد که diam (G®) ≤ diam (G(R[x])) و diam (G®) ≤ diam (G(R[[x]])) است.
از اینرو در این پایان نامه، ابتدا درفصل اول: تعاریف و مبانی نظری و تئوریک تحقیق برگرفته از منبع [1] را مطالعه می كنیم و به معرفی انواع گراف و اشكال آنها می پردازیم، در فصل دوم: به بیان رنگ آمیزی حلقه های تعویض پذیر
|
[یکشنبه 1399-09-30] [ 07:34:00 ب.ظ ]
|
