فهرست مطالب  …  ب

لیست جداول  .   ج

لیست تصاویر   . . .   ح

1  تعاریف ومقدمات    

• معادلات انتگرال – دیفرانسیل   2

  • مقدمه وتاریخچه ..   2
  • تعریف معادله انتگرال   5
  • انواع معادلات انتگرال … .  5

2.1      مروری بر آنالیز تابعی و تاریف مقدماتی    7

1.2.1    نرم ها  .  7

1.2.2    فضای برداری  …   8

1.2.3    فضای     8

1.2.4    ضرب داخلی    9

1.2.5    فضای هیلبرت  .   10

1.2.6    تعامد    10

1.2.7    پایه فضای برداری    11

1.2.8    فضای   .   12

1.2.9    محمل تابع  .   12

1.2.10  عملگر های انتقال و اتساع یک تابع    12

2   معرفی موجک ها و توابع بلاک – پالس

1.2   موجک   . … .   14

1.1.2    مقدمه وتاریخچه  …   14

2.1.2    معرفی پایه های موجک  …   15

3.1.2    آنالیز تجزیه چند گانه   ..   16

4.1.2    موجک ها  …   20

5.1.2    رابطه دو مقیاسی    22

6.1.5    تقریب وپایداری پایه موجکی متعامد یکه  .    28

7.1.2    خواص مطلوب موجک ها    28

2.2     موجک چبیشف نوع دوم   .. ..   30

1.2.2    چند جمله ای های چبیشف نوع اول    30

2.2.2    چند جمله ای های چبیشف نوع دوم  ….   31

3.2.2    موجک چبیشف نوع دوم  ..   32

4.2.2    همگرایی در پایه های موجک چبیشف نوع دوم  …   36

3.2     توابع بلاک – پالس   .. .   38

1.3.2    مقدمه  .   38

2.3.2    تعریف توابع بلاک – پالس  …   38

3.3.2    ویژگی های توابع بلاک – پالس  .   40

3   دیفرانسیل وانتگرال از مرتبه کسری

     1.3    مقدمه    44

2.3    تابع گاما  … ..   45

1.2.3    تعریف تابع گاما    45

2.2.3    فاکتوریل مقادیر کسری    46

3.3    انتگرال گیری از مرتبه کسری  .. .   46

1.3.3    تعریف عملگر انتگرال  .   46

2.3.3    انتگرال از مرتبه طبیعی  .   47

3.3.3    انتگرال از مرتبه کسری    47

4.3    مشتق از مرتبه کسری  .. …   48

1.4.3    قضیه اساسی حساب دیفرانسیل  ..   48

2.4.3    عملگر مشتق    49

3.4.3    مشتق مرتبه کسری  .   49

4.4.3    مشتق در حالت کاپتو  ..   50

4   حل معادلات انتگرال-دیفرانسیل ولتری غیر خطی واز مرتبه کسری با بهره گرفتن ازموجک                                                                                چبیشف نوع دوم

     1.4    بیان مسئله  …   53

2.4    ماتریس عملیاتی توابع بلاک- پالس برای محاسبه انتگرال    54

3.4    ماتریس عملیاتی موجک چبیشف نوع دوم  ..   57

4.4    ماتریس عملیاتی انتگرال از مرتبه کسری موجک چبیشف نوع دوم  .   59

5.4    تشکیل دستگاه معادلات غیر خطی بوسیله ماتریس های عملیاتی  …  61

6.4    تجزیه وتحلیل خطا  .. .   67

1.6.4   تابع خطای روش    67

2.6.4    تقریبی از خطای مطلق  ..   68

5   مثال ها و نتایج عددی

     1.5    مثال های عددی    70

2.5    نتیجه گیری  ..   76

کتاب نامه  .   77

لیست جداول

1.5   مقایسه بین جواب واقعی و جواب در نقاط مختلف  .   74

2.5   محاسبه نرم -2 خطای مطلق    74

لیست تصاویر

1.2   زیر فضا های   .   21

2.2   تابع مقیاس موجک هار  ..   24

3.2   تابع تظزیف موجک مادر    24

4.2   اولین نسل از دختران  .   24

5.2   تابع مقیاس موجک کلاه  .   25

6.2   موجک کلاه    25

7.2   نمودار تقریب تابع   .   27

8.2   تقریب تابع   .   27

9.2   موجک چبیشف   .   33

10.2 موجک چبیشف   .   34

11.2  موجک چبیشف     34

12.2  توابع بلاک- پالس به ازای     39

13.2  تقریب تابع  به کمک توابع بلاک-پالس    42

1.5   جواب واقعی  و تقریب آن  .   75

چکیده

حساب کسری، تعمیم مشتق وانتگرال از مرتبه غیر صحیح است که بطور گسترده در مسائل مهندسی و مدل های علمی مورد استفاده قرار گرفته است. در این پژوهش ما به توصیف مشتق از مرتبه کسری در حالت کاپوتو ، به منظور ارائه ماتریس عملیاتی انتگرال از مرتبه کسری موجک های چبیشف نوع دوم  پرداخته ایم و سپس با بهره گرفتن از روشی که بر اساس ماتریس عملیاتی موجک چبیشف نوع دوم است به حل عددی معادلات انتگرال – دیفرانسیل غیر خطی و از مرتبه کسری ولترا پرداخته ایم .

هدف اصلی این پژوهش این بوده که معادله انتگرال – دیفرانسیل را به یک دستگاه معادلات جبری تبدیل کند تا به سادگی حل گردند و نتایج عددی بدست آمده نشان می دهد که روش عددی انتخاب شده دقت لازم برای این منظور را داراست.

Abstract

Fractional calculus is an extension of derivatives and integrals to non-integer orders and has been widely used to model scientific and engineering problems. In this paper, we describe the fractional derivative in the Caputo sense and give the second Chebyshev wavelet (SCW) operational matrix of fractional integration. Then based on above results we propose the SCW operational matrix method to solve a kind of nonlinear fractional-order Volterra integro-differential equations. The main characteristic of this approach is that it reduces the integro-differential equations into a nonlinear system of algebraic equations.

Thus, it can simplify the problem of fractional order equation solving. The obtained numerical results indicate that the proposed method is efficient and accurate for this kind equations.

1 مقدمه و تاریخچه

نظریه معادلات انتگرال یکی از مهمترین شاخه های علم ریاضی  است . اصولاً اهمیت آن از لحاظ مسائل مقدارمرزی در تئوری معادلات با مشتقات جزیی است . معادلات انتگرال درعلوم فیزیک ،شیمی ،ریاضیات ،علوم فنی و .کاربردهای فراوانی دارد . به طور مثال می توان به معادلات پیچیده گرماوموج اشاره کرد که  ازجمله معادلات انتگرال در علم فیزیک می باشند . معادلات انتگرال برای سالهای زیادی است که درریاضی ظاهرشده اند زیرا مبدا آن به تئوری انتگرال فوریه برمی گردد .

اولین بار اصطلاح معادله ی انتگرال به وسیله ریموند پیشنهاد شد .لاپلاس در سال 1782 یک معادله انتگرال برای تابع  به صورت زیر ارائه داد:

فوریه در سال 1811 روی نظریه حرارت کار کرد و مقالاتی از خود بر جای گذاشت. آبل[4] نیز در سال 1823در مسئله ی خود که به مسئله ی مکانیکی آبل معروف است کاربرد معادلات انتگرال را مطرح کرد .در سال 1826 پواسن[5] در نظریه مغناطیس خود،نوعی معادله انتگرال را مطرح کرد .لیوویل به طور مستقل معادلات انتگرال خاصی را از سال 1832 به بعد حل کرد .پوانکاره در سال 1896 معادله انتگرالی را بدست آورد که متناظر با یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی و مربوط به حرکت موج بودوبه صورت زیر بود:

که البته فردهلم جهت بدست آوردن جواب های این معادله تحقیقات زیادی انجام داد .به هر حال ولترا اولین کسی بود که در اواخر قرن 19 نظریه عمومی معادلات انتگرال را ارائه داد . ارائه یک سمینار توسط  هولمگر در سال 1901 بر روی کارهای فردهلم علاقه هیلبرت[6] را برانگیخت و او در بسیاری از مسایل ریاضی فیزیک از معادلات انتگرال کمک گرفت وفرموله کردن مساله معادلات دیفرانسیل مقدار مرزی به صورت معادله انتگرال از کارهای مهم وی بوده است.

واز آن زمان به بعد تاعصرحاضرمعادلات انتگرال موضوع تحقیقات ریاضیدانان زیادی بوده است ،زیرا آنها به طور پیوسته به مسایل جدید وجالبی برخورد می کنند . قضایای فردهلم[7] ازقضایای بنیادی معادلات انتگرال هستند . از آنجا که این قضایاابتدا توسط فردهلم برای هسته های پیوسته ارائه شدندلیکن بعداً توسط افراد دیگری برای هسته های کلی تری تعمیم یافتند . لذا لازم است از کار کارلمن که در این راه نقش عمده ای داشته است یادنمود .

کاربرد معادلات انتگرال- دیفرانیسل به طور دایم در حال افزایش است مانند معادله فیشر در زیست شناسی یا معادلات انتگرال دیفرانسیلی که برای درونیابی معادلات گرما وموج کاربرد دارند.

برای حل معادلات انتگرال دیفرانسیل نیز روش های مختلفی وجود داردکه ازجمله می توان به روش های عددی ذکر نمود که در این پژوهش از روش عددی مبتنی بر توابع موجک وماتریس های عملیاتی آنها استفاده شده است.

روش های طیفی خانواده ای بزرگ از روش های حل معادلات عملگری می باشند که در دو دهه اخیر به طور وسیعی گسترش یافته اند . این روشها در حل مسائلی از علوم و مهندسی بسیار کارا و موثرند و قدمتی به اندازه درونیابی و بسط توابع دارند اولین الگوریتم روش های طیفی درسال  1983 ارائه شد.

در روش های طیفی عملگرهای توصیف کننده سیستم را با بهره گرفتن از پایه های سیستم نظیرسری فوریه وانواع چندجمله ایهای  متعامد و غیر متعامد و توابع قطعه ای پیوسته و همچنین ماتریسهای عملیاتی مناسب مربوط به پایه ها ،