پایان نامه تشخیص‌پذیری و k- تشخیص‌پذیری بعضی از گروه های متناهی با بهره گرفتن از دو روش مجموعه تعداد عناصر هم مرتبه و تعداد سیلو زیرگروه های یک گروه با مركز بدیهی

فصل اول: تعاریف و قضیه‌های مقدماتی

1-1 مقدمه ………………………………………………………………………………. 1

1-2 تعاریف و مفاهیم مقدماتی …………………………………………………………. 2

1-3 آشنایی با رده بندی گروه های ساده متناهی………………………………………… 4

فصل دوم : تشخیص‌پذیری چند گروه ساده از طریق تعداد عناصر هم‌مرتبه یک گروه

2-1 مقدمه ………………………………………………………………………………. 12

2-2 تشخیص‌پذیری گروه های متناوب ساده و ………………………………… 14

2-3 تشخیص‌پذیری گروه های متقارن …………………………………………….. 20

2-4 تشخیص‌پذیری گروه های خطی ……………………………………… 31

2-5 تشخیص‌پذیری گروه های ماتیو …………………………………………………… 39

2-6 تشخیص‌پذیری گروه های ساده پراکنده ……………………………………………. 39

فصل سوم: تشخیص‌پذیری چند گروه ساده از طریق تعداد سیلو زیرگروه های یک گروه با مركز بدیهی

3-1 مقدمه ………………………………………………………………………………. 53

3-2 تشخیص‌پذیری گروه های خطی ……………………………………… 55

3-3 پیشنهادات برای ادامه کار…………………………………………………………. 63

مراجع …………………………………………………………………………………… 64

چکیده:

فرض كنید G یک گروه باشد اگر مجموعه تمام مرتبه های عناصرگروه G را با نماد نشان دهیم آنگاه مجموعه تمام عناصر هم مرتبه G را که با نماد nse(G) نمایش می دهند به صورت تعریف می کنند. در این رساله ابتدا نشان می‌دهیم اگر جائیكه S گروه متناوب ساده ، یا گروه های خطی طوری كه یا گروه های متقارن طوری كه و یا گروه های ساده ماتیو آن‌گاه G با S ایزومورف است. همچنین نشان می‌دهیم اگر G گروهی متناهی با مركز بدیهی باشد طوری كه تعداد سیلو زیرگروه های آن به ازای هر عدد اول با تعداد سیلو زیرگروه های گروهای خطی كه درآن برابر باشد آن‌گاه G باید در شرط صدق كند.

پیشگفتار:

پس از این كه مهم‌ترین مسأله نظریه گروه های متناهی یعنی رده‌بندی گروه های ساده متناهی در سال 1979 به اتمام رسید، یكی از مسائل عمده مورد توجه دانشمندان این رشته تشخیص‌پذیری یک گروه با یک ویژگی مشخص بوده است. یک گروه دلخواه G را با خاصیت M تشخیص‌پذیر گوئیم، هر گاه گروه G تحت یكریختی تنها گروهی باشد كه در خاصیت M صدق می‌كند. همچنین یک گروه دلخواه G را با خاصیت تشخیص‌پذیر گوئیم، هرگاه تحت یكریختی k تا گروه متمایز پیدا شود كه در خاصیت M صدق كند. به عنوان مثال تشخیص‌پذیری با بهره گرفتن از گراف اول، تشخیص‌پذیری با بهره گرفتن از گراف جابجائی یا گراف ناجابجائی در گروه از این دست مسائل هستند.

یكی دیگر از روش‌های تشخیص‌پذیری یک گروه، تشخیص‌پذیری با بهره گرفتن از مجموعه تعداد عناصر هم مرتبه یک گروه است كه بطور ساده آن را با نماد nse نشان می‌دهند. این نوع تشخیص‌پذیری برای اولین بار توسط شی[1] و همكارنشان در سال 2008 در مقاله‌ای تحت عنوان:

Characterization of Simple – groups

به صورت جدی مساله رده‌بندی گروه G با nse و مرتبه گروه را مورد مطالعه قرار دادند. در سال 2009 شن[2] و همكارنشان مقاله‌ دیگری تحت عنوان:

A new characterization of

ارائه كردند كه در این مقاله آنها فقط با بهره گرفتن از nse توانستند برای گروه های ، و ثابت كنند كه تشخیص‌پذیرند. آنها همچنین سوال زیر را مطرح كردند.

سوال: فرض کنید به طوری که آن گاه آیا می توان نتیجه گرفت ؟

در فصل دوم این رساله ما نشان داده‌ایم كه گروه های متناوب ساده ، با این روش تشخیص‌پذیرند و نتایج حاصل از آن را در مقاله تحت عنوان:

A new Charaterization of ,

در سال 2011 در مجله

Anale Stintifice ale universitatii Ovidius Constanta

موفق به دریافت‌ پذیرش چاپ گردید.

در سال 2009 خسروی و همكارنشان در مقاله‌ای تحت عنوان:

A new Charaterization for some linear groups

نشان دادن كه گروه های برای با بهره گرفتن از nse تشخیص‌پذیرند. آنها در مقاله خود سوال زیر را مطرح كردند.

سوال: فرض كنید G یک گروه باشد به طوری كه جائیكه q توانی از یک عدد اول است. آیا گروه G با ایزومورف است؟

در ادامه فصل دوم این رساله نشان داده‌ایم كه گروه های خطی برای با این روش تشخیص‌پذیرند و نتایج حاصل از آن را در مقاله‌ای تحت عنوان:

A new Charaterization of for some q

تدوین و برای داوری به یكی از مجلات معتبر علمی فرستاده شده است. همچنین در مقاله‌ای دیگر تحت عنوان:

A new charaterization of symmetric group for some n

كه برای داوری به یكی از مجلات معتبر علمی فرستاده شده نشان داده‌ایم كه گروه های متقارن برای با nse تشخیص‌پذیرند كه نتایج حاصل از آن در فصل دوم این رساله آمده است. در ادامه فصل دوم نشان دادیم كه گروه های ساده ماتیو هم با بهره گرفتن از تعداد عناصر هم مرتبه یک گروه تشخیص‌پذیرند و نتایج حاصل از آن را در مقاله‌ای تحت عنوان:

A Charaterization of Matheiu groups by NSE

تدوین و برای داوری به یكی از مجلات معتبر علمی فرستاده شده است. در پایان فصل دوم نشان دادیم که همه گروه های ساده پراکنده با بهره گرفتن از nse ومرتبه تشخیص پذیرند كه مقاله حاصل از آن تحت عنوان:

A Characterization of Sporadic Simple Groups by NSE and Order

در سال 2012 در مجله

Journal of Algebra and Its Applications

موفق به پذیرش چاپ کردید.

در فصل سوم این رساله روش دیگری برای تشخیص‌پذیری گروه ارائه كرده‌ایم كه روش جدیدی برای تشخیص‌پذیری یک گروه است كه تاكنون هیچ مقاله‌ای در این زمینه به چاپ نرسیده است. در این روش با بهره گرفتن از تعداد سیلو زیرگروه های یک گروه با مركز بدیهی نشان می‌دهیم كه بعضی از گروه های خطی تشخیص‌پذیر و یا تشخیص‌پذیرند. نتایج حاصل از این فصل را در قالب دو مقاله تدوین كرده‌ایم. در مقاله اول روی گروه های برای كار شده كه مقاله حاصل از آن تحت عنوان:

A new charaterization of some linear groups

برای داروی به یكی از مجلات معتبر علمی فرستاده شده است، و در مقاله دوم روی گروه های برای كار شده كه مقاله حاصل از آن تحت عنوان:

A Charaterization of some linear groups

در سال 2011 در مجله

Australian Journal of Basic and Applied Science

چاپ شده است.

فصل اول: تعاریف و قضیه های مقدماتی

1-1- مقدمه

این فصل را به بیان تعاریف اولیه كه در سرتاسر رساله به كار خواهیم برد و همچنین بیان قضایای معروفی كه از آنها استفاده خواهیم كرد، اختصاص می‌دهیم. قضایایی كه بدون اثبات آورده شده‌اند، در مقابل هر یک از آنها مرجعی مناسب معرفی شده است تا خواننده در صورت نیاز بتواند با مراجعه به آنها اثبات قضیه را مشاهده كند.

2-1- تعریف و مفاهیم مقدماتی

تعریف: فرض كنید گروه G روی مجموعه X عمل كند و در این صورت مجموعه را پایدارساز x در G نامیده و با نماد یا نشان می‌دهیم.

تعریف: عمل G روی X را انتقالی می‌گوئیم هر گاه به ازای هر و از X عضوی از G مانند g باشد به طوری كه .

تعریف: عمل G روی X را انتقالی است هر گاه به ازای هر دوگانه و که در آن و برای هر عضوی از G مانند g باشد به طوری كه برای هر .

تعریف: عمل گروه G روی مجموعه X را نیمه‌منظم گوئیم هرگاه برای هر داشته باشیم

{1}=

قضیه 1-2-1 فرض كنید گروه G روی X به طور نیمه منظم عمل كند آنگاه مرتبه G مقسوم‌علیهی از مرتبه X است.

برهان. به [8] رجوع شود.

برای یک گروه دلخواه مانند G تعداد سیلو p-زیرگروه های آن را با نماد نمایش می دهیم.

قضیه 1-2-2 فرض كنید G یک گروه متناهی و N یک زیرگروه نرمال G باشد، آن‌گاه و مقسوم‌علیهی از است و همچنین داریم.

برهان. به [33] رجوع شود.

تعریف: فرض كنید n یک عدد صحیح باشد. در این صورت ، مجموعه تمام اعداد اولی است كه n را می‌شمارد.

اگر G یک گروه متناهی باشد، را همان تعریف می‌كنیم.

قضیه 1-2-3 فرض كنید G یک گروه متناهی، فرد باشد همچنین فرض كنید P یک سیلو زیرگروه G و جائیكه . اگر P دوری نباشد، آن گاه تعداد عناصر از مرتبه n گروه G مضربی از است.

برهان. به [24] رجوع شود.

قضیه 1-2-4 فرض كنید G یک گروه متناهی . همچنین فرض كنید G دارای سری نرمال باشد. اگر و p مرتبه K را عاد نکند آن‌گاه نتایج زیر برقرار است:

i)
ii) یعنی ؛

iii) به عبارت دیگر داریم جائیكه t یک عدد صحیح مثبت است و.

برهان. به [27] رجوع شود.

تعریف: فرض كنید G یک گروه متناهی باشد و كه در آن m و n دو عدد طبیعی متباین‌اند. هر زیرگروه G از مرتبه m را یک زیرگروه هال می‌نامند. به عبارت دیگر، زیرگروه H از G را یک زیر گروه هال گویند در صورتی كه و نسبت به هم اول باشد.

همچنین اگر کهها اعداد صحیح نامنفی و لااقل یکی مخالف صفر است و در اینصورت H را یک هال زیر گروه G می‌نامند.

قضیه 1-2-5 فرض كنید G یک گروه متناهی حلپذیر و، جائیكه و . همچنین فرض كنید و تعداد هال زیرگروه های G باشد، آن‌گاه است كه به ازای هر در شرایط زیر صدق می‌كند:

i) برای یک ؛
ii) مرتبه یكی از فاكتورهای اصلی از سری اصلی گروه G را عاد می‌كند.

برهان. به [12] رجوع شود.

موضوعات: بدون موضوع لینک ثابت

فرم در حال بارگذاری ...

فید نظر برای این مطلب