1.2.2. اندازه شباهت مبتنی بر مدل فاصله هندسی………………………………………………………………………..  25

2.2.2. اندازه شباهت مبتنی بر روش نظریه مجموعه­ای…………………………………………………………………  36

3.2. کاربرد اندازه­ های شباهت بین مجموعه­های فازی مردد در یک تصمیم­ گیری چند صفتی……………….  38

4.2. بحث و نتیجه ­گیری………………………………………………………………………………………………………………  42

فصل سوم   بررسی اندازه­ های شباهت برای مجموعه­های فازی مردد بازه­ای مقدار

مقدمه……………………………………………………………………………………………………………………………………….  43

1.3. تعاریف اولیه………………………………………………………………………………………………………………………  46

2.3. بررسی چند اندازه شباهت برای مجموعه­های فازی مردد بازه­ای مقدار………………………………………  49

1.2.3. اندازه شباهت مبتنی بر مدل فاصله هندسی………………………………………………………………………  49

2.2.3. اندازه شباهت مبتنی بر روش نظریه مجموعه­ای……………………………………………………………….  60

عنوان…………………………………………………………………………………………………………………………………………صفحه

3.3. کاربرد اندازه­ های شباهت در یک تصمیم ­گیری چند صفتی در محیط فازی مردد بازه­ای مقدار………….  61

4.3. بحث و نتیجه ­گیری………………………………………………………………………………………………………………..  65

فصل چهارم  بررسی اندازه­ های شباهت برای مجموعه­های فازی مردد دوگان

مقدمه…………………………………………………………………………………………………………………………………………  67

1.4. تعاریف اولیه………………………………………………………………………………………………………………………..  69

2.4. عملگر­های بر روی مجموعه­های فازی مردد دوگان…………………………………………………………………..  76

3.4. چند اندازه شباهت برای مجموعه­های فازی مردد دوگان……………………………………………………………  78

1.3.4. اندازه شباهت مبتنی بر مدل فاصله هندسی………………………………………………………………………..  78

2.3.4. اندازه شباهت مبتنی بر روش نظریه مجموعه­ای…………………………………………………………………. 81

3.3.4. اندازه شباهت مبتنی بر تابع تطبیقی…………………………………………………………………………………..  82

4.4. کاربرد اندازه­ های شباهت در یک تصمیم ­گیری چند صفتی در محیط فازی مردد دوگان…………………  83

5.4. بحث و نتیجه ­گیری………………………………………………………………………………………………………………  88

منابع………………………………………………………………………………………………………………………………………… 

 89

چکیده لاتین …………………………………………………………………………………………………………………………….  92

چکیده

در این پایان نامه ابتدا مفاهیم و تعاریف اولیه مرتبط با مجموعه­های فازی و توسیع­های آن­ه یعنی  مجموعه­های فازی مردد، مجموعه­های فازی مردد بازه­ای مقدار و مجموعه­های فازی مردد دوگان بیان کردیم. سپس اندازه­ های شباهت را برای مجموعه­های فازی مردد، مجموعه­های فازی مردد بازه­ای مقدار و مجموعه­های فازی مردد دوگان ارائه نمودیم. اندازه­ شباهت نسبی را برای مجموعه­های فوق بیان کردیم که مبتنی بر اندازه­ فاصله مجموعه­های فوق نسبت به ایدآل مثبت و همچنین ایدآل منفی مجموعه­های خود می­باشد. در نهایت با بهره گرفتن از اندازه­ های شباهت پیشنهادی، الگوریتمی برای حل مساله تصمیم ­گیری چند معیاری با داده ­هایی به صورت مجموعه­ی فازی مردد مد نظر معرفی کرد

Abstract

In this thesis, we first review of some preliminaries related to fuzzy sets and their extensions called hesitant fuzzy sets, interval_valued hesitant fuzzy sets and dual hesitant fuzzy sets. We then study deeply a family of similarity measures for hesitant fuzzy sets, interval_valued hesitant fuzzy sets and dual hesitant fuzzy sets together with their properties. Finally, on the basis of discussed similarity measures, an algorithm is given for solving Multiple attribute decision making problems with hesitant fuzzy set data.

پیش­گفتار

هر نوع واقعیت را نمی­توان به طور کامل درست یا نادرست دانست. حقیقت، چیزی بین درستی کامل و نادرستی کامل است یعنی چیزی بین صفر و یک که مفهومی چند ارزشی و یا خاکستری دارد. حال، فازی[1]بودن چیزی بین سیاه و سفید، یعنی خاکستری است. کاسکو[2][35] معتقد است که منطق فازی در برابر منطق دودویی یا ارسطویی که همه چیز را فقط به دو شکل سیاه و سفید، بلی و خیر، صفر و یک می‌بیند، قرار دارد.مقادیر گزاره در این منطق در بازه بین صفر و یک قرار داشته و با پرهیز از مطلق‌گویی (فقط صفر یا یک) از مقدار تعلق عضوی به یک مجموعه بحث می‌کند. مثلا یک فرد 40 ساله، 15درصد به مجموعه جوان، 70 درصد به مجموعه میانسالان و 25 درصد به مجموعه پیران تعلق دارد یعنی این منطق به عنوان مثال، فرد موردنظر را به طور مطلق میان­سال نمی­داند.

منطق فازی در سال 1965 برای اولین بار در مقاله‌ای به همین نام، توسط پروفسور زاده[3] ارائه شد و در حال حاضر کاربردهای فراوانی دارد. این منطق برای سنجش مسائل و الگوهای کیفی، کاربرد فراوان دارد و      پاسخ­گوی مسائل زیادی در بیشتر شاخه­های علمی است. به وسیله منطق فازی می‌توان سیستم‌های پیچیده را که مدل­سازی آن­ها با بهره گرفتن از ریاضیات و روش‌های مدل­سازی کلاسیک، غیرممکن بوده و یا بسیار مشکل است، به آسانی و با انعطاف بسیار بیشتر مدلسازی کرد.

از آن زمان که انسان اندیشیدن را آغاز کرد، همواره کلمات و عباراتی را بر زبان جاری ساخته که مرزهایی روشن نداشته‌اند. کلماتی نظیر: خوب، بد، جوان، پیر، قوی، ضعیف، گرم، سرد، باهوش، زیبا و قیودی نظیر: معمولا، غالبا، تقریبا و به ندرت. روشن است که نمی‌توان برای این کلمات مرزی مشخص یافت.

این باور به سیاه و سفیدها، صفر و یک‌ها به نظام دو ارزشی گذشته بازمی‌گردد و حداقل به یونان قدیم و ارسطو می‌رسد. البته قبل از ارسطو نوعی ذهنیت فلسفی وجود داشت که به ایمان دودویی با شک و تردید می‌نگریست.

منطق ارسطو، اساس منطق ریاضیات کلاسیک را تشکیل می‌دهد. براساس اصول و مبانی این منطق، همه چیز تنها مشمول یک قاعده ثابت می‌شود که براساس آن هر چیز درست یا نادرست است. منطق ارسطویی دقت را فدای سهولت می‌کند. نتایج منطق ارسطویی که به صورت دوارزشی، درست یا نادرست، سیاه یا سفید و صفر یا یک است، مطالب ریاضی و پردازش رایانه‌ای را می‌تواند ساده کند. منطق فازی، جهان‌بینی جدیدی است که با نیازهای دنیای پیچیده کنونی بسیار سازگارتر از منطق ارسطویی است. منطق فازی، جهان را آن‌طور که هست به تصویر می‌کشد. دنیایی که ما در آن زندگی می‌کنیم، دنیای ابهامات و عدم قطعیت می­باشد، مغز انسان عادت کرده است که در چنین محیطی، با بهره گرفتن از داده‌های ناصحیح و کیفی به یادگیری و نتیجه‌گیری بپردازد در صورتی که منطق ارسطویی، لازمه آن داده‌های دقیق و کمی می­باشد که این موضوع قابل تامل است.

واژه فازی در فرهنگ لغت آکسفورد، به معنای مبهم، گنگ، نادقیق، گیج، مغشوش، درهم و نامشخص آمده است. معانی دیگری مثل کرکی، درهم و برهم، پرزدار، تیره و نامعلوم نیز از جمله معانی دیگر واژه فازی است.  در مجموع، واژه فازی به مفاهیم فاقد مرز دقیق اشاره دارد.

فازی بودن به معنای چندارزشی بودن است و در مقابل منطق دو ارزشی که در آن برای هر سوال و یا مفهومی تنها دو پاسخ و یا دو حالت (درست یا نادرست ،سیاه یا سفید) می‌تواند وجود داشته باشد، قرار می‌گیرد. در واقع منطق ارسطویی را می‌توان حالت خاصی از تفکر فازی به حساب آورد . منطق فازی معتقد است که ابهام در ماهیت علم وجود دارد. برخلاف دیگران که معتقدند که باید تقریب‌ها را دقیق‌تر کرد تا بهره‌وری افزایش یابد، زاده معتقد است که باید به دنبال ساختن مدل­هایی بود که ابهام را به عنوان بخشی از سیستم مدل کند.

این نظریه، قادر است بسیاری از مفاهیم، متغیرها و سیستم‌هایی را که مبهم هستند (همان‌طور که در عالم واقع نیز اکثراً چنین است) صورت­بندی ریاضی کرده و زمینه را برای استدلال، کنترل و تصمیم‌گیری در شرایط عدم اطمینان فراهم آورد. در سیستم‏های دارای عدم قطعیت زیاد و پیچیدگی‌های بالا، منطق فازی روشی مناسب برای مدل­سازی به شمار می‌رود.

در سیستم فازی، عدم قطعیت پدیده‌ها دو نوع هستند:

1. عدم قطعیت ناشی از ضعف دانش و ابزار بشری در شناخت پیچیدگی‌های یک پدیده؛

2.عدم قطعیت مربوط به عدم صراحت و عدم شفافیت مربوط به پدیده یا ویژگی خاص.

یعنی، پدیده ممکن است ذاتا غیر صریح و وابسته به قضاوت افراد باشد  مثلا ارزش رضایتمندی ایده­ال در یک شغل، ممکن است برای کارمندی 80 از 100 و برای دیگری 95 از 100 باشد.