فهرست مطالب:

چکیده ……………………………………………………………………………………………   6

1    تعاریف ، مفاهیم و قضایای مقدماتی……………………………………………………..   7

1 تعریف و مفاهیم مقدماتی ……………………………………………………………………. 8

2 فضاهای باناخ و هیلبرت ………………………………………………………………………. 15

3 قضایا و تعاریفی از آنالیز غیرخطی و فضاهای سوبولف………………………………….. 26

2    بررسی شرطهای وجود جواب برای دستگاه های بیضوی تکین ………………………   35

1 مقدمات …………………………………………………………………………………………. 36

2 لم های کمکی  ……………………………………………………………………………….   44

3    بررسی وجود بی نهایت جواب برای دستگاه های بیضوی تکین ………………………   47

قضیه اصلی ………………………………………………………………………………………..   94

منابع ……………………………………………………………………………………………..    100

واژه نامه فارسی به انگلیسی ……………………………………………………………..   105

چکیده انگلیسی …………………………………………………………………………………….  113

چکیده:

در این پایان نامه دستگاه معادلات بیضوی تکین و تباهیده به فرم زیر را در نظر می گیریم

 (1. 1)                     

که در آن  یک دامنه کراندار با مرز هموار  می باشد  و توابع  که  برای . و نیز  بوده و همچنین توابع وزن  برای  . توابع   توابع وزن هستند اما توابع   توابع وزن قابل تغییر علامت می باشندو همچنین .

با بهره گرفتن از انواع روش های تغییراتی مثل روش مسیر کوهی، اصل تغییراتی ایکلند، اصل تغییراتی کلارک، نابرابری نیرنبرگ و…وجود تعداد نامتناهی جواب برای دستگاه (1. 1) را در یک فضای سوبولف وزن دار ثابت می کنیم.

فصل اول: تعاریف، مفاهیم و قضایای مقدماتی

مقدمه:

در این فصل به معرفی مفاهیم ابتدایی که در سرتاسر این پایان نامه مورد استفاده قرار می گیرند، می پردازیم. ابتدا معادلات دیفرانسیل جزیی و برخی کاربردهای آن را معرفی می کنیم، و مروری گذرا بر فضاهای باناخ، هیلبرت،  و سوبولف و قضایای مرتبط به آنها خواهیم داشت و سپس عملگر بیضوی را تعریف می نماییم.

1-1- تعاریف و مفاهیم مقدماتی

تعریف 1. 1. 1 (معادله دیفرانسیل ):

هر معادله شامل یک متغیر وابسته و مشتقاتش نسبت به یک متغیر مستقل را معادله دیفرانسیل گویند. معادلات دیفرانسیل کاربرد زیادی در ریاضیات، فیزیک، مهندسی، اقتصاد و بسیاری از زمینه های دیگر علوم دارند.

تعریف 1. 1. 2 (معادله دیفرانسیل جزیی ):

  هر رابطه بین متغیرهای مستقل  و متغیر تابع  و مشتقات متغیر تابع نسبت به متغیرهای مستقل را یک معادله دیفرانسیل جزئی گویند. اگر  یک تابع چند متغیره باشد، مشتق مرتبه  نسبت به مولفه ی  را به صورت  نشان می دهیم.

هرگاه بزرگترین مرتبه مشتق ظاهر شده  باشد ، معادله دیفرانسیل از مرتبه  است. معادله دیفرانسیل با مشتقات جزیی را با علامت اختصاری PDE  نشان می دهند.

تعریف 1. 1. 3 (دامنه ):

فرض کنیم  فضای اقلیدسی – بعدی  با نقاط  که  باشد. در این صورت  را یک دامنه گوییم هرگاه باز و همبند باشد.